守护幸福六肖中特:高中数学等比数列公式大全

高中数学等比数列公式大全(一)

一般地,如果一个数列[1]从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列(Geometric Sequences)。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。在运用等比数列[2]的前n和时,一定要注意讨论公比q是否为1。

另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

1、等比中项定义:从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。

 (1)无穷递缩等比数列各项和公式:

无穷递缩等比数列各项和公式:公比的绝对值小于1的无穷等比数列,当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。

 (2)由等比数列组成的新的等比数列的公比:

{an}是公比为q的等比数列

1、若A=a1+a2+……+an

等比数列公式

B=an+1+……+a2n

C=a2n+1+……a3n

则,A、B、C构成新的等比数列,公比Q=q^n

2、若A=a1+a4+a7+……+a3n-2

B=a2+a5+a8+……+a3n-1

C=a3+a6+a9+……+a3n

则,A、B、C构成新的等比数列,公比Q=q

2、公式性质

(1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;

(2)在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列。

(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.

(4)若{an}是等比数列,公比为q1,{bn}也是等比数列,公比是q2,则{a2n},{a3n}…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…{can},c是常数,{an*bn},{an/bn}是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2。

(5)等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比。

(6)若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数。

(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比数列中,首项A1与公比q都不为零。

注意:上述公式中A^n表示A的n次方。

(8)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

3、求通项法

1、待定系数法:已知a(n+1)=2an+3,a1=1,求an构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x)

a(n+1)=2an+x,∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3

所以(a(n+1)+3)/(an+3)=2

∴{an+3}为首项为4,公比为2的等比数列,所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3

2、定义法:已知Sn=a·2^n+b,,求an的通项公式。

∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b

∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1

等比数列的通项公式:

an=a1qn-1,q≠0,n∈N*。

等比数列的通项公式的理解:

①在已知a1和q的前提下,利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项;

②在已知等比数列中任意两项的前提下,使用

可求等比数列中任何一项;

③用函数的观点看等比数列的通项,等比数列{an}的通项公式

,可以改写为

.当q>o,且q≠1时,y=qx是一个指数函数,而

是一个不为0的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点;

④通项公式

亦可用以下方法推导出来:

将以上(n一1)个等式相乘,便可得到

⑤用方程的观点看通项公式.在an,q,a1,n中,知三求一。

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